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Quadratur des Kreises?

[Bild] Der Ausdruck "Quadratur des Kreises" dient bekanntlich der sprachlichen Umschreibung eines als unmöglich eingeschätzten Vorhabens. In der antiken Geometrie sollte ursprünglich ein gegebener Kreis in ein Quadrat mit demselben Flächeninhalt umgewandelt werden. Beschränkt man dabei die Konstruktionsmittel auf Lineal und Zirkel, ist die Aufgabe unlösbar.

Das Bild rechts stammt aus dem Artikel "Quadratur des Kreises" in Wikipedia.

Auf der Internetseite von BALAVAT, die gern etwas philosophisch oder gar esoterisch daherkommt, findet man eine durchaus ansprechende Konstruktion mit der Bezeichnung "Quadratur des Kreises durch Durchmesserteilung" und dem Anspruch, das Problem gelöst zu haben. Auch hier dürfte es sich aber nur um eine gute Näherung handeln. Es wäre interessant, hierbei den Fehler zu ermitteln.

Das Kernproblem bei der "Quadratur des Kreises" ist die zeichnerische Darstellung des Verhältnisses der Seitenlänge des Quadrates zum Radius des Kreises. Da es sich hierbei um die Wurzel aus der Kreiszahl π handelt, kann zeichnerisch wie auch rechnerisch nur eine Annäherung erfolgen. Mit den heute zur Verfügung stehenden Mitteln ist das jedoch mit einem sehr geringen Fehler möglich.

[Bild] Die Annäherung mittels Kettenbruch ist schon sehr lange bekannt. Dabei wird eine rationale Zahl ermittelt, die der Zahl π sehr nahe kommt. Aus meiner Schulzeit kenne ich den Bruch 22/7, der für die Praxis schon genau genug ist. Der Fehler gegenüber π ist kleiner als 0,041 %. Noch besser ist die Genauigkeit beim Bruch 355/113, der π auf 6 Stellen nach dem Komma angibt. Die Abweichung beträgt weniger als 2,7·10-7

3,141 592 653 ... = π
3,141 592 920 ... = 355/113

Peter Katzlinger aus München hat mir dafür eine gut nachvollziehbare Konstruktion zugesandt, die im Wesentlichen auf der Anwendung der Strahlensätze beruht:

[Bild]

Die Strecke AB entspricht dabei a = 339, also dem Dreifachen von 113. Die Formel im Bild zeigt, dass man nach Umstellen und Kürzen mit 3 den maßgeblichen Bruch erhält. So weit, so gut. Nur fehlt jetzt noch eine Konstruktion, die die beiden Strecken a = 339 und b = 355 bestimmt. Dafür hat Peter Katzlinger ein System von 2 parallelen Strahlen entwickelt, mit dem die Längen konstruiert werden.

[Bild]
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Die Konstruktionsbeschreibung kann hier heruntergeladen werden.

[Bild] Eine noch weitaus bessere Genauigkeit ist mit dem Bruch 245.850.922/78.256.779 möglich. Dieser wurde schon 1770 von Johann Heinrich Lambert in seinem Buch "Beyträge zum Gebrauche der Mathematik und deren Anwendung" veröffentlicht.

[Bild] Die Abweichung gegenüber π beträgt hier weniger als 8·10-17. Bei einem vorgegebenen Radius von 1 Milliarde Kilometern wäre die Abweichung einer Seite des Quadrates gegenüber dem exakten Wert ungefähr 22 Mikrometer (0,022 mm).

Das folgende Bild zeigt die Anwendung dieses Bruches in einer Konstruktion, die ebenfalls von Peter Katzlinger stammt und auf dem gleichen Konstruktionsprinzip beruht:

[Bild]
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Letztes Update dieser Seite: 19. Dezember 2021


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